方向导数

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分，那么函数在该点沿任意方向 $l$ 的方向导数必存在，且有：

$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\sin \alpha$$

证明

根据方向导数定义：

$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\sin \alpha )-f(x_0,y_0)}{t}$$

由于 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分，

$$\begin{array}{rl}& f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\\ & =f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})\end{array}$$

有：

$$\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}& =\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\sin \alpha +o(t)}{t}\\ & =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\sin \alpha \end{array}$$

梯度

令 $\mathbf{g}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，则：

$$f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\sin \alpha =\mathbf{g}\cdot {\mathbf{e}}_l=|\mathbf{g}||{\mathbf{e}}_l|\cos \theta =|\mathbf{g}|\cos \theta$$

当 $\theta =0$ 和 $\theta =\pi$ 时，函数变化率最大，即向量 $\mathbf{g}$ 方向为函数值变化最快的方向，$\mathbf{g}$ 被称为梯度。